2020年9月8日星期二

神,恶魔和凡人

雷蒙德粉刷的 嘲笑一只模仿鸟 介绍了经典的有趣变化 骑士和knaves逻辑谜题。撒谎和真实的骑士从另一个维度的众生加入:撒谎和真实的神。 

添加新种骗子和真实讲述者最初增加了谜题的数量并提供了有趣的变化。但是,在不对拼图格式进行其他改变,拥有超过两个品种的骗子和真实柜员会减少可以生成的谜题的数量,并将可用的谜题减少到基本上两个不感兴趣的品种。

标准骑士和knaves拼图的设置是有一个地区有两种居民:骑士总是讲述真相,膝盖总是撒谎。据说骑士和克劳斯在不同的“边”上。我们想象一下旅行者遇到了一群这些居民,并试图解决他们基于居民所做的一些陈述的类型。

让我们看看介绍众神和恶魔如何改变一套骑士和鬼魂谜题。考虑有两名居民(爱丽丝和鲍勃)的谜题,他们可以成为骑士或膝关节。 A和B各每一个发表的发言:(1)我是一个骗子,(2)我是一个真理出纳者,(3)他们是一个真实的柜员,(4)他们是骗子, (5)我们至少有一个是真理讲述者,(6)我们至少有一个是骗子,(7)我们是骗子,(8)我们是真实的,(9)我们在同一边,( 10)我们在不同的方面。

如果我们考虑分别由A和B的对这些陈述的组合,有些对将创建一个没有解决方案的情况(无论是A或B说“我是骗子”)或许多解决方案(A和B都说“我是真理讲述者”)。有些人会导致合法的谜题,其中有一个可能的解决方案。我们可以从这些中生成的38个谜题在下面的图表中指示在下图中的一个蓝色方形,其中行和列没有谜题(如“我是骗子”)的行。

一些简单的陈述骑士和鬼魂拼图

只有骑士和knaves,其中一些陈述告诉我们很多。

(1)居民称“我是个骗子”。这一陈述产生了着名的骗子悖论,不会发生在任何难题中,既不是骑士也没有克莱斯可以这么说。

(2)居民称“我是真实的。”这句话没有告诉我们,所以只有在其他声明告诉我们一切时才会出现。骑士和克劳斯都可以这么说。

(3)居民称“他们是一个真理讲述者”。这告诉我们,居民是相同的类型,因为一个膝盖会说这是一个膝盖,骑士会说骑士。

(4)居民称“他们是骗子”。这告诉我们,居民是不同的类型,因为膝盖将说这是一个骑士,骑士会说棒。

(5)居民称“我们至少有一个是真理讲述者”。这告诉我们,如果说话的居民是膝盖,那么其他居民也是如此。

(6)居民称“我们至少有一个是骗子”。这告诉我们,演讲者不能成为一个鬼魂(如果他们是陈述是真的),所以扬声器必须是骑士,另一个必须是一个鬼魂。

(7)居民称“我们是骗子”。扬声器不能成为骑士,所以扬声器必须是膝盖,另一个必须是骑士(以确保所述陈述不是真的)。

(8)居民称“我们是真实的。”这告诉我们,如果说话的居民是一个骑士,那么其他居民也是如此。

(9)居民称“我们在同一边。”这告诉我们,其他居民必须是一个骑士(一个拐角人会说这个关于骑士,也是骑士)。

(10)居民称“我们在不同的方面。”这告诉我们,其他居民必须是一个膝盖(一个拐角人会说这个关于膝盖,所以骑士)。

如果我们向这些谜题添加众神和恶魔,那么没有陈述的陈述组合将产生适当的单解决方案拼图。但我们可以改变一些陈述,使他们更加富有成效。 “我是一个骗子”可以被它的变化所取代“我是一个傻瓜”,它实际上可以被恶魔说没有矛盾,或者“我不是骑士”,这可以由上帝陈述。概括了“我们是真实”这样的陈述的一种方法是将其视为“我是一个骑士,他们是骑士”,同时考虑“和”陈述(比如“我是一个恶魔,他们是一个恶魔恶棍”)。类似地,“我们至少有一个是骗子”是与“我是膝盖或者是一个崇拜者”一样,可以扩展到涉及不同类型的其他“或”陈述。通过这些额外的陈述,我们可以生成204个谜题,涉及上帝,恶魔,骑士和knaves,如下图所示。


众神,恶魔和凡人从一些简单的陈述拼图

如果我们进一步扩展,那么何时何地考虑两种类型的骗子或真实柜员,而是三种?我们可以有三种类型的骗子:Knave-0,Knabe-1和Knave-2,以及三种类型的真实沥配方:Knight-0,Knight-1和Knight-2。仍然限制每种可能拼图中的居民数量,这显着增加了陈述的数量。

然而,当我们这样做时,我们的谜题变得非常不情趣。当一个居民发表声明时,唯一的谜题就会判断另一个是讲述真相的声明,而第二次明确说明居民的类型是什么类型。这些陈述中只有54个谜题,下面的图表中总结了。与其他图表一样,没有谜题的行和列已被删除。您可以在上面显示的“神和恶魔”图表中找到这种无趣的拼图的较小副本。


3种类型的骗子和3种真实性柜员:这种情况
允许一组非常受限制的谜题

介绍上帝和恶魔,以及一些额外的陈述,产生了一个有趣的一套 “两个居民”的谜题,但增加了不同类型的骗子和真实柜员的数量,超越这会导致益智组成并变得不那么多种。也许有一种改变陈述或改变拼图格式的方法,以制作更通用的n-knight和n-tabe拼图更丰富?

这里可以找到一套生成的神,恶魔和凡人拼图: //dmackinnon1.github.io/godsAndDemons/

从谷仓被子到清真寺倾斜

在最近在安大略省南部旅行时,我很享受看到 谷仓被子 沿着高速公路开车。一些谷仓被子是 Truchet模式; 其他,虽然不限于使用Truchet瓷砖的基于网格,但可以在没有指南针的情况下创建。

一个truchet模式,可以制作一个
漂亮的谷仓被子

上面的Truchet模式是一个星形模式的实例,它通常在网格涂鸦中涂上 - 这个“内星”和相关的“外星”可以在例如来自猎狼礼品和指南中找到(见 该幼儿园 Guide by Maria Kraus-Boetté和 John Kraus, 1877).


外星和内星(之后 图299.
该幼儿园 Guide)


通过反转每个凹口,可以从“内星”获得“外星”。

外在和内在
叠加

如果我们延长外星的所有边缘,我们会得到一个填充10x10网格的新的“更大的星星”。

大明星:延伸
外星

进一步扩展了大明星的每个边缘并将边缘连接如下所示,我们得到12x12 Florette模式
大明星弗洛尔特和平铺

使用这种模式作为曲面细分的单位,我们得到了在Kairouan Mosque发现的平铺的近似值(见 这里也是)。


2019年6月4日星期二

日骑士和夜骑士

在他的书中 嘲笑一只模仿鸟, 雷蒙德粉碎了 他的经典'骑士和崇拜'谜题提供了另一种变化,他想象难题求解器没有参观一个岛屿,但探索一个奇怪的地下城市。


插图来自 洞穴的孩子:
或者,地下奇怪的行为 (有时出版 作为
地下城市)由Jules Vern

在奇怪的地下社区,游客不能在夜晚告诉日,但居民可以。居民有两种类型:日骑士或夜骑士。 白天骑士在白天讲述真相并在晚上撒谎,而夜骑士在晚上讲述真相并在白天撒谎。

有几个地下谜题呈现在 嘲笑一只模仿鸟,但我们想要的 更多的。如果我们考虑足够长的陈述列表,那么地下可能会产生 如果我们有两个居民发言,那么呈现的可能性,我们应该能够产生相当多的谜题。

让我们使用这22个陈述:

0:我是一天骑士,这是一天
1:另一个人是一天骑士,这是一天
2:我是一天骑士,另一个人是一天骑士
3:我是一天骑士,这是晚上
4:另一个人是一天骑士,而且是夜晚
5:我是一个夜骑士,另一个人是一天骑士
6:我是一个夜骑士,这是一天
7:另一个人是一个夜骑士,这是一天
8:我是一天骑士,另一个人是一个夜骑士
9:我是一个夜骑士,而且是夜晚
10:另一个人是一个夜骑士,是夜晚
11:我是一个夜骑士,另一个人是一个夜骑士
12:这是一天
13:我是一天骑士
14:这不是夜晚
15:这是晚上
16:我是一个夜骑士
17:这不是日子
18:我们至少有一个是夜骑士
19:我们至少有一个是一天骑士
20:我们都是夜骑士
21:我们都是一天骑士

其中一些是关于一天的简单陈述或其中一个居民的类型,其他是复合'和“结合两个简单陈述的陈述”。当复合语句使用“和”加入两个简单的语句时,两个简单的语句都需要是真的,以便成为真实的化合物语句,但只需要一个简单的陈述需要是假的,以便将复合语句为false。

真相表 for A and B

如果第一个居民发表声明1,而第二个居民发表声明8,我们得到拼图5(如下所示)。你可以尝试解决它 这里.


事实证明(毫不奇怪,我们将在下面看到,两家居民至少有点撒谎。 这一定是那是夜晚,而且两个居民都是日间骑士。

这是拼图的一种方法:

  • 如果第一人称说实话,有一种可能性:这是日,第一个人是一天骑士,第二个人是一天骑士。他们有3种方法可以撒谎。 如果是日,那么他们必须是一个夜骑士,另一个人也必须是一个夜奈特。如果是夜晚,那么他们必须是一天骑士,另一个人可能是一天骑士或夜骑士。
  • 如果第二个人正在讲述真相,有一种可能性:这是晚上,第一个人是夜骑士,第二个人是夜骑士。与第一人称一样,第二个人可以撒谎3种方式。如果是夜晚,第二人必须是一天骑士,第一个人可以是一天骑士或夜骑士。如果是日,那么第二人必须是夜骑士,第一个必须是一天骑士。
  • 这两种可能性的唯一选择是,这是夜晚,而且两个居民都是一天骑士。
在22 x 22的组合中,两个语句的组合有多少导致拼图具有独特的解决方案?事实证明,只有90个谜题出现 - 下面的图表显示了所有导致有效拼图,黑色方块的所有组合的白色方块。 居民是一个特定的陈述并不重要,导致图表中的对称性和谜题中的重复(如果您不关心声明顺序)。

22个陈述产生的谜题

我们可以看到两个陈述特别导致几乎完全完整的水平和垂直线条良好的拼图。这些行是涉及陈述3和6的谜题:

3:我是一天骑士,这是晚上
6:我是一个夜骑士,这是一天
这些陈述上的每个陈述都大大缩小了可能的解决方案。例如,如果一个岛民说“我是一天骑士,那是晚上,”他们必须撒谎。此外,我们知道当天不能成为一天骑士,或者夜间夜骑士。这留下了一种可能性:这是一天,他们是夜骑士。

从陈述的对称性预期,在有效的谜题中,它就像当天晚上一样可能是一天的,而且居民也可能是日间骑士或夜骑士。

白天和夜晚同样可能

但并非一切都在底部地区平衡。在上面的例子(拼图5)中,并且在由陈述3和6生成的谜题中,我们发现底部的居民少于真实。事实上,在 全部 产生的谜题,至少有一个居民撒谎 - 从来没有同时讲述真相。下面的图表显示了一个居民躺在浅蓝色的谜题,并且两个居民都在白色。

底部:游客不太好

也许这是他们的偏好和连词,导致地下讲述真相有问题?

下船可能会提醒你居民的居民 梦想之岛 - 地下谜题和梦想谜题之间的关键差异 这一页 是岛民没有使用他们的陈述使用和 - 每个陈述都是不同的。

底层和底部 梦想之岛 是难题类别的示例,也包括标准 骑士和克劳斯, 这 狮子和独角兽, 这 不可靠的卫兵, 老虎或宝藏波斯蒂亚的棺材和许多其他人。收集了一堆这些谜题 这里.


2019年5月9日星期四

明星多边形乐趣

明星和复合多边形是漂亮的数学对象,可以在代码中绘制或创建。
明星和复合多边形
在2到9顶点

您可以在探索乘法表时绘制十个尖头多边形, 例如。在下面的图片中,跳过计数6,同时在连续号码的最后数字之间绘制一条线,给我们一个五角大楼:计数0,6,12,18,24,30我们绘制连接0,6,2,8,4的线路。和0。

跳过计数6绘制{5/2}

当用手绘制明星和复合多边形时,你就开始了 n 点均匀地间隔为圆圈,然后从每个点连接到另一个点,总是跳过相同数量的点。如果您跳过0分,您将获得常规 n - 贡献。如果你跳过 k 积分,和 K + 1是相对素质的 n,如果是,你会得到一个明星多边形 nk+1分享因素,您获得了几种常规或明星多边形的化合物。

9点,跳过0,1,2和3
顶点

有趣的是如何易于描述这样的算法,跳过一个圆点的点,转化为一个程序。

多边形 这一页 使用一些javascript绘制(代码 这里),包括一些使用Trig函数来放置初始顶点(如单位圆周周围的点)和模块化算术,以帮助以循环方式遍历点列表。这是数学如何进入如何实现简单算法的一个很好的例子。

当我们完全通过使用的数学方式来表达如何通过使用 Desmos..,我们可以看到数学如何,在这种情况下,以惊人的紧凑方式表达算法。你可以看看图表 这里.

{7/2}的Desmos草图,
图形 这里


相关链接和帖子
明星多边形页面
Desmos.中的星形多边形
多边形在乘法表中

2019年5月8日星期三

Desmos. Chladni.

喜欢 lissajous数字, Chladni数字 提供令人惊讶和美观的波浪相互作用的例子。

这些数字代表了振动表面形成的节点图案。传统上,这些在表面上将细颗粒放置在表面上,如将振动的金属片(抵靠金属板的边缘的小提琴弓是一种普遍的方法)。颗粒在具有最小运动的表面的区域中沉降 - 节点。当您实现共振频率时,特征模式出现。

在过去的帖子中,我指出的代码使用R(这里这里),并使用 javascript.。也许令人惊讶的是,你也可以使用chladni的数字来玩 Desmos.,这可能是探索它们的最易于获得的方式,并欣赏它们是如何从正弦函数生成的。

Chladni样图在r中生成

使用JavaScript生成的Chladni样图


在Desmos中,您可以使用不等式创建类似的图像。方程式相当直接 - 图形 这里 将在整个飞机上绘制数字 - 在一个小区域上放大时,可以看到最佳结果。

在Desmos中产生的Chladni样图,
图形 这里


在Desmos中更多的Chladni样图

尝试使用desmos图来玩 这里,找到用于生成数字的R脚本 这里,JavaScript Chladni生成页面是 这里.

更新
在推特上发布后,Desmos草图得到改善   and @Paulakrieg.。以下是其更改启发的其他一些图表:

一种像奇特尼的模式
两个不同的不平等

像奇特尼的模式,三个不同的模式
不平等

使用添加的层,Chladni模式正在接近摘要 威廉莫里斯 appearance.

另一个更新
其他图形 允许您与Chladni数字更直接进行实验,类似于上面提到的网页。

图形 for building 
Chladni数字